Schritt-für-Schritt-Ungleichungslösung
Eine Ungleichung gibt an, dass zwei Ausdrücke in einer Ordnungsbeziehung stehen. Durch gleichwertige Umformungen — und Richtungsumkehr beim Dividieren durch eine negative Zahl — isolieren wir die Variable und stellen die Lösung als Intervall dar.
Linear
Ungleichungen ersten Grades, gelöst durch Isolieren von x und Umkehren des Vorzeichens bei Division durch eine negative Zahl.
Quadratisch
Gelöst mithilfe der Diskriminante Δ und der Vorzeichenanalyse der Parabel.
Intervallnotation
Lösungen als Intervalle ausgedrückt, mit offenen oder geschlossenen Klammern je nach Operator.
Vorzeichenanalyse für quadratische Ungleichungen
Für eine quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c hängt das Vorzeichen von f(x) von der Diskriminante Δ = b² − 4ac und dem Vorzeichen von a ab. Bei a > 0 öffnet die Parabel nach oben — f(x) ist zwischen den Wurzeln negativ und außerhalb positiv.
Δ > 0 (Zwei Nullstellen)
Zwei Nullstellen x₁ < x₂. Für a > 0: f < 0 zwischen den Wurzeln, f > 0 außerhalb.
Δ = 0 (Eine doppelte Nullstelle)
Parabel berührt x-Achse in einem Punkt. Für a > 0: f ≥ 0 überall.
Die goldene Regel: Vorzeichen umkehren
Die wichtigste Regel beim Lösen von Ungleichungen: Wenn man beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, muss das Ungleichungszeichen umgekehrt werden. Dies ist der entscheidende Unterschied zu Gleichungen.
⚠️ Kehren Sie das Ungleichungszeichen immer um, wenn Sie beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren.