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Gleichungslöser mit Schritten

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x =Gleichungslöser
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Algebra — Standardregeln und -formeln

Quadratisch

x=−b±Δ2a,Δ=b2−4acx = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac

Δ > 0: 2 real roots | Δ = 0: 1 double root | Δ < 0: 2 complex roots

Cramersche Regel

x=DxD,y=DyD,z=DzDx = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}

Solves simultaneous linear systems using matrix determinants.

x = ?

Ausdruck eingeben und Berechnen drücken

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Schritt-für-Schritt-Gleichungslösung

Algebraische Gleichungen drücken die Gleichheit zweier mathematischer Ausdrücke aus. Durch Äquivalenzumformungen bestimmen wir exakte Lösungen.

Linear

ax+b=0  ⟹  x=−baax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

First-degree equations with a unique real root, infinite solutions, or no solution.

Quadratisch

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Second-degree equations analyzed via discriminant Δ for real or complex roots.

Cramersche Regel

xi=det⁡(Ai)det⁡(A)x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

Solves simultaneous linear systems of 2 and 3 variables using matrix determinants.

Diskriminantenformel & Nature of Roots

Δ > 0 (Two Real Roots)

The parabola crosses the x-axis at two distinct real points.

x₁, x₂ ∈ ℝ, x₁ ≠ x₂

Δ = 0 (One Double Root)

The vertex of the parabola touches the x-axis at exactly one point.

x₀ = -b / (2a)

Δ < 0 (Complex Conjugates)

The curve does not cross the x-axis; roots are imaginary numbers.

x = u ± vi, i² = -1

Lineare Gleichungssysteme

A system of linear equations is a collection of two or more equations sharing the same set of variables. When solving a 2x2 system, each equation represents a straight line in the Cartesian plane. The solution corresponds to the geometric intersection point of the two lines:

Substitution & Elimination

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}

Isolating one variable and substituting it into the remaining equations to reduce the dimensions systematically.

Determinants & Matrix Inverse

A⋅x=b  ⟹  x=A−1bA \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b} \implies \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}

Expressing the linear relations compactly as a matrix equation and inverting the matrix when det(A) ≠ 0.

Häufig gestellte Fragen

How do you solve an equation with two variables?

An equation with two variables, such as 2x + 3y = 12, has infinitely many solutions, so it does not have a single numerical answer. Solve for one variable in terms of the other: subtract 2x from both sides, then divide by 3 to get y = (12 − 2x) / 3. To find one unique solution, you need a second independent equation, which gives a system of two equations with two variables. Such a system can be solved by substitution, elimination or Cramer's Rule.

What does it mean to solve an equation?

Solving an equation means finding every value of the unknown variable that makes the equation true. For example, x = 3 solves x + 2 = 5 because 3 + 2 = 5. To do this, isolate the variable on one side by applying the same operation to both sides, so the equality stays balanced.

How to solve a multiple variable equation?

Isolate the variable you need and treat the other variables as constants. For example, from V = lwh, you get l = V / (wh). If you need numerical values for several unknowns, you need as many independent equations as unknowns. For three unknowns, use a system of three linear equations, solved with Cramer's Rule, Gaussian elimination or substitution.

Wie löst man lineare Gleichungen Schritt für Schritt?

Um eine lineare Gleichung ax + b = c zu lösen, lösen Sie Klammern auf, bringen alle Terme mit der Variablen nach links und alle konstanten Zahlen nach rechts, fassen gleichartige Glieder zusammen und teilen beide Seiten durch den Koeffizienten von x.

Wie funktioniert die Diskriminante bei quadratischen Gleichungen?

Für die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 lautet die Diskriminante Δ = b² - 4ac. Ist Δ > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; für Δ = 0 eine doppelte reelle Lösung; und bei Δ < 0 zwei konjugiert komplexe Lösungen mit der imaginären Einheit i.

Welche Methoden werden für lineare Gleichungssysteme mit 2 und 3 Unbekannten genutzt?

Mathsway nutzt die Cramersche Regel über Determinanten (D, Dx, Dy, Dz) sowie das Gaußsche Eliminationsverfahren und Einsetzungsverfahren mit exakten Brüchen und schrittweiser Darstellung.

Was bedeutet es, wenn eine Gleichung keine oder unendlich viele Lösungen hat?

Führt die Vereinfachung zu einem Widerspruch (z. B. 0 = 5), ist die Gleichung unlösbar und die Lösungsmenge leer (∅). Ergibt sich eine allgemeingültige Aussage (0 = 0), besitzt die Gleichung unendlich viele reelle Lösungen (ℝ).

Kann dieser Gleichungslöser komplexe oder imaginäre Zahlen berechnen?

Ja. Besitzt eine quadratische Gleichung eine negative Diskriminante (Δ < 0), zeigt der Rechner die exakten konjugiert komplexen Lösungen in der Form u ± vi an.

Ist dieser Gleichungslöser kostenlos und vertraulich?

Ja, er ist zu 100% kostenlos und kommt völlig ohne Registrierung aus. Alle Rechnungen laufen clientseitig in Ihrem Browser über Web Worker, was maximale Datensicherheit gewährleistet.