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Mehrfachintegral-Rechner mit Schritten

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Verwandte Tools gesucht? Probieren Sie unseren Integralrechner mit Schritten, unseren Ableitungsrechner oder unseren Grenzwertrechner mit Schritten.

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Integrationsgrenzen (von außen nach innen)

Hinweis: Schreibe die obere Grenze oben (▲) und die untere Grenze unten (▼) an jedes ∫-Symbol. (Akzeptierte Werte: Zahlen, Konstanten wie pi oder Ausdrücke wie 1-x).

Sup. ▲
∫
Inf. ▼
d
Sup. ▲
∫
Inf. ▼
d
f(x,y) =
Variablentransformation / Jacobian
Mathematische Tastatur
Tastatur wird geladen…
Beispiele

Gängige Integration

Grundregels

  • Potenzregel:
    ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
  • Konstante:
    ∫c dx=cx+C\int c \, dx = cx + C
  • Konstante Vielfache:
    ∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int c f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx

Spezielle Funktionen

  • ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)+C\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C
  • ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)+C\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C
  • ∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C
  • ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
∫∫

Ausdruck eingeben und Berechnen drücken

Warum unseren Mehrfachintegral-Rechner verwenden?

Werten Sie komplexe Doppel- und Dreifachintegrale über benutzerdefinierten Grenzen intuitiv aus. Nutzen Sie die native Unterstützung für Koordinatenänderungen, um Variablen frei abzubilden, und wenden Sie automatische Jacobi-Determinantenberechnungen an, die speziell für polare und sphärische Bereiche entwickelt wurden.

Doppel (2D)

∬Df(x,y) dA\iint_{D} f(x,y) \,dA

Berechnen Sie das Volumen unter einer 3D-Fläche oder die Fläche von 2D-Bereichen.

Dreifach (3D)

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_{E} f(x,y,z) \,dV

Berechnen Sie die Gesamtmasse, den Schwerpunkt und Hypervolumina im 3D-Raum.

Variablentransformation

dxdydz=∣J∣ dudvdwdxdydz = |J| \,dudvdw

Geometrien automatisch über Jacobi-Determinanten abbilden (z. B. polar).

Wie Integration funktioniert

Die Mehrfachintegration erweitert die Standard-Analysis einer Variablen auf Volumina und n-dimensionale Räume. Dieses Tool wertet zuerst die innersten Integrale analytisch Schritt für Schritt aus.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man ein Mehrfachintegral Schritt für Schritt?

Ein Mehrfachintegral wird iterativ von innen nach außen berechnet. Man integriert zuerst bezüglich der innersten Integrationsvariablen, während alle anderen Variablen als Konstanten behandelt werden. Nach dem Einsetzen der Grenzen wiederholt man diesen Vorgang für die jeweils äußeren Variablen.

Was ist der Unterschied zwischen einem Doppelintegral und einem Dreifachintegral?

Ein Doppelintegral (2D) integriert eine Funktion f(x, y) über ein ebenes Gebiet, um Flächeninhalte, Flächenmassen oder Volumina unter Funktionsflächen zu berechnen. Ein Dreifachintegral (3D) integriert f(x, y, z) über einen räumlichen Körper zur Bestimmung von Volumen, Massenverteilungen oder Schwerpunkten.

Wie funktioniert die Koordinatentransformation mit der Jacobi-Determinante?

Bei einer Transformation von Koordinaten (etwa von kartesischen (x, y) zu Polarkoordinaten (r, θ)) wird das infinitesimale Flächenelement mit dem Betrag der Jacobi-Determinante |J| skaliert. Bei Polarkoordinaten gilt entsprechend dx dy = r dr dθ.

Unterstützt dieser Rechner Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten?

Ja. Mathsway bietet voreingestellte Modi für Polar- (2D), Zylinder- (3D) und Kugelkoordinaten (3D) samt automatischer Berechnung der jeweiligen Jacobi-Determinante.

Ist dieser Mehrfachintegralrechner kostenlos und vertraulich?

Ja, er ist 100 % kostenlos und ohne Abonnement nutzbar. Die Berechnungen erfolgen über Web Worker lokal im Browser, sodass alle Eingaben streng geschützt bleiben.

In welcher Beziehung stehen Mehrfachintegrale zu Ableitungen?

Mehrfachintegrale erfassen Größen über mehrdimensionalen Bereichen, während partielle Ableitungen die Änderungsraten entlang einzelner Koordinatenachsen beschreiben. Stammfunktionen können Sie mit dem Integralrechner mit Schritten überprüfen oder Ableitungen mit unserem Ableitungsrechner berechnen.

Wie hängen Mehrfachintegrale mit Grenzwerten und der Analysis einer Variablen zusammen?

Mehrfachintegrale basieren auf Riemann-Summen, bei denen die Zerlegungsfeinheit im Grenzwert gegen null strebt. Zur Untersuchung von Grenzwertfragen und Grenzverhalten steht unser Grenzwertrechner mit Schritten bereit.