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Calculateur d'intégrales multiples avec étapes

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Vous cherchez des outils similaires ? Essayez notre calculateur d'intégrales avec étapes, notre calculateur de dérivées ou notre calculateur de limites avec étapes.

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Bornes d’intégration (extérieur vers intérieur)

Indication : Écrivez la borne supérieure en haut (▲) et la borne inférieure en bas (▼) de chaque symbole ∫. (Saisie possible : nombres, constantes comme pi ou fonctions comme 1-x).

Sup. ▲
∫
Inf. ▼
d
Sup. ▲
∫
Inf. ▼
d
f(x,y) =
Changement de Variables / Jacobian
Clavier mathématique
Chargement du clavier…
Exemples

Intégrations courantes

Règles de base

  • La règle de puissance:
    ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
  • Constante:
    ∫c dx=cx+C\int c \, dx = cx + C
  • Multiple constant:
    ∫cf(x) dx=c∫f(x) dx\int c f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx

Fonctions spéciales

  • ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)+C\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C
  • ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)+C\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C
  • ∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C
  • ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
∫∫

Entrez l'expression et appuyez sur Calculer

Pourquoi utiliser notre calculateur d'Intégrales Multiples ?

Calculez intuitivement des intégrales doubles et triples complexes sur des limites personnalisées. Utilisez la prise en charge native des changements de coordonnées pour cartographier les variables librement avec le calcul du Jacobien, conçu spécialement pour les domaines polaires et sphériques.

Double (2D)

∬Df(x,y) dA\iint_{D} f(x,y) \,dA

Calculez le volume sous une surface 3D ou l'aire de régions 2D.

Triple (3D)

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_{E} f(x,y,z) \,dV

Calculez la masse totale, le centre de masse et les hyper-volumes dans l'espace 3D.

Changement de Variables

dxdydz=∣J∣ dudvdwdxdydz = |J| \,dudvdw

Cartographiez automatiquement les géométries via les déterminants jacobiens (ex. polaire).

Comment fonctionne l’intégration

L'intégration multiple étend le calcul standard à une variable aux volumes et aux espaces à n dimensions. Cet outil évalue d'abord analytiquement les intégrales les plus internes étape par étape, substitue les limites internes, et itère chronologiquement vers l'extérieur. Si un changement de variables est requis (comme de (x,y) vers des coordonnées polaires (r,θ)), il différenciera automatiquement votre matrice d'application pour obtenir et multiplier le facteur d'échelle Jacobien exact avant de commencer les itérations.

Foire Aux Questions

Comment calculer une intégrale multiple étape par étape ?

Une intégrale multiple se calcule de manière itérative, de l'intérieur vers l'extérieur. On intègre d'abord par rapport à la variable la plus interne en traitant toutes les autres variables comme des constantes. On applique ensuite les bornes correspondantes et on réitère le processus pour chaque variable externe successive.

Quelle est la différence entre une intégrale double et une intégrale triple ?

Une intégrale double (2D) intègre une fonction f(x, y) sur un domaine plan pour déterminer une aire, une masse surfacique ou le volume sous une surface. Une intégrale triple (3D) intègre f(x, y, z) sur un volume solide pour évaluer le volume total, des distributions de masse, un centre d'inertie ou des grandeurs spatiales.

Comment fonctionne le changement de variables avec le déterminant jacobien ?

Lors d'un changement de coordonnées (par exemple des coordonnées cartésiennes (x, y) vers les coordonnées polaires (r, θ)), l'élément différentiel d'aire est multiplié par la valeur absolue du déterminant jacobien |J|. En coordonnées polaires, dx dy devient r dr dθ.

Ce calculateur prend-il en charge les coordonnées polaires, cylindriques et sphériques ?

Oui. Mathsway intègre des configurations prédéfinies pour les coordonnées polaires (2D), cylindriques (3D) et sphériques (3D), avec calcul automatique du déterminant jacobien associé.

Ce calculateur d'intégrales multiples est-il gratuit et confidentiel ?

Oui, il est 100 % gratuit sans abonnement ni création de compte. Tous les calculs s'exécutent dans votre navigateur grâce aux Web Workers, préservant la stricte confidentialité de vos opérations.

Quel est le lien entre les intégrales multiples et les dérivées ?

Les intégrales multiples cumulent des grandeurs sur des domaines multidimensionnels, tandis que les dérivées partielles quantifient les taux de variation le long de chaque axe de coordonnées. Vous pouvez vérifier vos primitives avec notre calculateur d'intégrales avec étapes ou calculer des dérivées pas à pas avec notre calculateur de dérivées.

Comment les intégrales multiples se rattachent-elles aux limites et au calcul à une variable ?

Les intégrales multiples sont formellement des sommes de Riemann où le pas de subdivision tend vers la limite 0 dans plusieurs dimensions. Pour étudier les conditions aux bornes ou approfondir l'analyse d'une variable, utilisez notre calculateur de limites avec étapes.