Bibliothèque d'exemples d'inéquations — 59 problèmes résolus
En un coup d'œil
Une bibliothèque de référence complète d'inéquations résolues organisées par type. Chaque exemple inclut l'intervalle solution et la stratégie de résolution clé. Utilisez le solveur interactif pour vérifier chaque exemple pas à pas.
Introduction
Que vous soyez étudiant en révision ou enseignant cherchant des exemples de référence, cette bibliothèque regroupe 59 inéquations résolues couvrant tous les types principaux. Chaque exemple présente l'intervalle solution et la stratégie clé utilisée.
💡 Astuce : Cliquez sur n'importe quel exemple dans notre Solveur d'inéquations pour le résoudre de façon interactive avec des explications pas à pas.
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🔵 Inéquations linéaires
Les inéquations linéaires ont la forme ax + b < c. Règle fondamentale : inverser le signe en multipliant ou divisant par un nombre négatif.
| Inéquation | Solution | Stratégie clé |
|---|---|---|
3x + 2 < 11 | x ∈ (-∞, 3) | Isoler x |
-3x + 1 > -8 | x ∈ (-∞, 3) | Division par un négatif inverse le signe |
(x+1)/2 >= 3 | x ∈ [5, ∞) | Multiplier par 2 (positif) |
5 - 2x <= 1 | x ∈ [2, ∞) | Regrouper les termes en x |
4x - 7 > 2x + 3 | x ∈ (5, ∞) | Collecter les termes en x |
-x/3 < 4 | x ∈ (-12, ∞) | Multiplier par -3 (inverser le signe) |
→ Résoudre les inéquations linéaires : Solveur d'inéquations avec étapes
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🟣 Inéquations du second degré
Les inéquations quadratiques requièrent de trouver les racines puis d'analyser le signe de la parabole entre et hors de ces racines.
| Inéquation | Solution | Stratégie clé |
|---|---|---|
x^2 - 5x + 6 < 0 | x ∈ (2, 3) | Factorisation : (x-2)(x-3) < 0 |
x^2 - 4 > 0 | x ∈ (-∞,-2) ∪ (2,∞) | Différence de carrés |
x^2 + 2x <= 8 | x ∈ [-4, 2] | Compléter le carré |
2x^2 - 3x - 2 >= 0 | x ∈ (-∞,-1/2] ∪ [2,∞) | Discriminant |
-x^2 + 1 > 0 | x ∈ (-1, 1) | Coefficient directeur négatif |
x^2 + 1 < 0 | ∅ (pas de solution) | Discriminant < 0 |
x^2 - 6x + 9 <= 0 | x = {3} | Carré parfait |
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🟤 Inéquations de degré supérieur
Pour les polynômes de degré ≥ 3, utiliser le tableau de signes après factorisation.
| Inéquation | Solution | Stratégie clé |
|---|---|---|
x^3 - x > 0 | x ∈ (-1,0) ∪ (1,∞) | Factoriser x(x-1)(x+1), tableau de signes |
x^3 - 4x^2 + 4x < 0 | x ∈ (-∞, 0) | Factoriser x(x-2)², tableau de signes |
x^4 - 5x^2 + 4 <= 0 | x ∈ [-2,-1] ∪ [1,2] | Substitution u = x² |
x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0 | x ∈ (-2,-1) ∪ (1,∞) | Factorisation par regroupement |
x^3 >= 8 | x ∈ [2, ∞) | Racine cubique des deux membres |
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🟠 Inéquations rationnelles
Les inéquations rationnelles nécessitent de trouver les zéros du numérateur et du dénominateur, puis d'analyser les changements de signe. Ne jamais multiplier en croix sans vérifier le signe.
| Inéquation | Solution | Stratégie clé |
|---|---|---|
(x-1)/(x+2) < 0 | x ∈ (-2, 1) | Tableau de signes avec x=1, x=-2 |
(x+3)/(x-1) >= 2 | x ∈ (1, 5] | Ramener à un seul membre, dénominateur commun |
1/x > 2 | x ∈ (0, 1/2) | Séparer selon le signe de x |
(x^2-4)/(x-1) <= 0 | x ∈ (-∞,-2] ∪ (1,2] | Factoriser le numérateur |
(2x+1)/(x^2+1) > 0 | x ∈ (-1/2, ∞) | Dénominateur toujours positif |
x/(x+1) < 1/(x-1) | x ∈ (-1, 1) | Dénominateur commun, tableau de signes |
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🔴 Inéquations avec valeur absolue
Deux cas : |f(x)| < a → -a < f(x) < a (intersection), et |f(x)| > a → f(x) < -a OU f(x) > a (union).
| Inéquation | Solution | Stratégie clé |
|---|---|---|
abs(x) < 3 | x ∈ (-3, 3) | Disjonction de cas |
abs(2x - 1) >= 5 | x ∈ (-∞,-2] ∪ [3,∞) | Disjonction de cas |
abs(x + 2) <= 4 | x ∈ [-6, 2] | Double inéquation |
abs(3x - 2) > 1 | x ∈ (-∞, 1/3) ∪ (1,∞) | Union de deux intervalles |
abs(x^2 - 4) < 5 | x ∈ (-3, 3) | Disjonction, résoudre les quadratiques |
abs(1/x) > 2 | x ∈ (-1/2, 0) ∪ (0, 1/2) | Séparer selon le signe de x |
abs(x - 1) + abs(x + 1) < 4 | x ∈ (-2, 2) | Analyse de cas sur le signe |
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🟢 Inéquations avec radicaux
Pour les inéquations avec radicaux, isoler le radical puis élever les deux membres au carré uniquement si les deux membres sont non-négatifs. Toujours vérifier le domaine.
| Inéquation | Solution | Stratégie clé |
|---|---|---|
sqrt(x) < 3 | x ∈ [0, 9) | Élever au carré (x≥0) |
sqrt(x - 2) >= 1 | x ∈ [3, ∞) | Isoler le radical, élever au carré |
sqrt(2x + 1) < x | x ∈ (3, ∞) | Élever au carré, vérifier le domaine |
sqrt(x^2 - 1) > x | x ∈ (-∞, -1) | Domaine + analyse de cas |
sqrt(x + 3) + sqrt(x) > 3 | x ∈ (1, ∞) | Isoler un radical, élever au carré deux fois |
sqrt(x) <= x - 2 | x ∈ [4, ∞) | Élever au carré, vérifier la non-négativité |
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🔵 Inéquations trigonométriques
Les inéquations trigonométriques utilisent le cercle trigonométrique pour trouver les intervalles solutions sur un domaine donné.
| Inéquation | Solution (0 ≤ x < 2π) | Stratégie clé |
|---|---|---|
sin(x) > 1/2 | x ∈ (π/6, 5π/6) | Cercle trigo, angle de référence |
cos(x) <= 0 | x ∈ [π/2, 3π/2] | 2ᵉ et 3ᵉ quadrant |
tan(x) > 1 | x ∈ (π/4, π/2) ∪ (5π/4, 3π/2) | Périodicité π |
2sin(x) - 1 >= 0 | x ∈ [π/6, 5π/6] | Isoler sin(x) |
cos(2x) < 1/2 | x ∈ (π/6, 5π/6) ∪ (7π/6, 11π/6) | Substitution angle double |
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🔵 Inéquations exponentielles et logarithmiques
Rappel : le logarithme est croissant (conserve l'inégalité) pour une base > 1 ; décroissant (inverse l'inégalité) pour 0 < base < 1.
| Inéquation | Solution | Stratégie clé |
|---|---|---|
2^x > 8 | x ∈ (3, ∞) | Même base : x > 3 |
e^x <= 1 | x ∈ (-∞, 0] | ln des deux membres |
log(x) > 2 | x ∈ (100, ∞) | Base 10, exponentiation |
ln(x - 1) < 3 | x ∈ (1, e³+1) | Exponentiation, vérifier le domaine |
3^(2x-1) >= 27 | x ∈ [2, ∞) | Même base : 2x-1 ≥ 3 |
log_2(x^2 - 3) > 2 | x ∈ (-∞,-√7) ∪ (√7,∞) | Exponentiation, résoudre la quadratique |
0.5^x < 0.25 | x ∈ (2, ∞) | Base < 1 inverse l'inégalité |
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⚠️ Cas particuliers
| Inéquation | Solution | Pourquoi |
|---|---|---|
x^2 + 1 < 0 | ∅ | Pas de solution réelle (toujours positif) |
x^2 >= 0 | ℝ (tous les réels) | Toujours vrai |
(x-1)^2 < 0 | ∅ | Un carré est toujours ≥ 0 |
x^2 - 2x + 1 <= 0 | x = {1} | Carré parfait = 0 seulement |
abs(x) < 0 | ∅ | La valeur absolue n'est jamais négative |
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Méthode universelle en 5 étapes
- Tout ramener à un membre (rendre le membre droit = 0)
- Trouver les points critiques (racines du numérateur et du dénominateur)
- Dresser un tableau de signes — tester chaque intervalle
- Appliquer les restrictions de domaine (radicaux, logarithmes, trigonométrie)
- Écrire la solution sous forme d'intervalles avec ∪ et ∩
→ Essayez maintenant avec notre Solveur d'inéquations avec étapes — obtenez des solutions instantanées avec un tableau de signes complet.
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