Las matemáticas en el arte: cómo la geometría, las ecuaciones y la estética moldean obras maestras

En algún punto del camino, la mayoría de nosotros fuimos clasificados como personas "de ciencias" o "de letras", como si ambas fueran opuestas. Es una historia conveniente, pero se desmorona en el momento en que observas la historia del arte. El matemático Edward Frenkel comparó una vez enseñar matemáticas sin arte con enseñar una clase de arte mostrando a los niños solo cómo pintar una valla — nunca un Picasso, nunca un Da Vinci. Saldrías pensando que pintar se trata solo de cubrir una superficie de manera uniforme y te perderías todo el sentido.

En realidad, las matemáticas rara vez limitan lo que un artista puede hacer. Más a menudo, son el andamiaje que permite que la emoción aterrice. La simetría, la proporción, la perspectiva: no son enemigas de la creatividad, son algunas de sus herramientas más antiguas. Cuando un pintor rompe una regla, o la sigue de manera casi demasiado precisa, el impacto generalmente proviene de que el espectador percibe esa estructura sin siquiera nombrarla. Aquí tienes un vistazo a nueve lugares donde las matemáticas y el arte resultan ser la misma conversación: desde la geometría sagrada hasta la física de un cielo turbulento.

Proporciones clásicas y geometría sagrada

Mucho antes de que alguien hablara de "principios de diseño", arquitectos y artistas ya se apoyaban en los números para guiar hacia dónde se dirige la mirada.

La proporción áurea y la sucesión de Fibonacci

La proporción áurea —aproximadamente 1,618— y su prima, la sucesión de Fibonacci ($1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$, y así sucesivamente), aparecen una y otra vez en la naturaleza: en conchas, en cabezas de flores, en los brazos espirales de las galaxias. Los artistas se dieron cuenta de esta proporción hace siglos y comenzaron a usarla para construir composiciones que simplemente se sienten equilibradas, incluso cuando no puedes explicar por qué. Un rectángulo áureo, dividido y vuelto a dividir, traza una espiral que atrae silenciosamente la vista del espectador a través de una pintura en lugar de dejar que choque contra una línea recta y se detenga. Si deseas jugar tú mismo con las matemáticas subyacentes, esta calculadora de límites es una forma práctica de analizar las sucesiones que hay detrás.

Símbolos de geometría sagrada

Más allá de la proporción áurea, algunas formas básicas conllevan un significado que aparece en culturas totalmente no relacionadas. Los círculos tienden a representar la totalidad y la continuidad. Los triángulos, con sus tres puntos fijos, se vinculan a la estabilidad: mente, cuerpo, espíritu.

Realismo renacentista: profundidad en una superficie plana

El Renacimiento es realmente donde las matemáticas y el arte dejaron de ser conversaciones separadas. Los pintores perseguían un difícil problema geométrico: ¿cómo hacer que una pared plana o un lienzo parezcan tener una profundidad real?

La perspectiva lineal es la respuesta que la mayoría de nosotros aprendimos en la escuela sin darnos cuenta de que eran matemáticas. Al arquitecto Filippo Brunelleschi se le atribuye la formalización del punto de fuga único: líneas que convergen hacia un punto en el horizonte, engañando al ojo para que vea tres dimensiones donde solo hay dos. (Si deseas la versión más rigurosa de esto, MIT OpenCourseWare tiene un desglose sólido del cálculo subyacente).

Da Vinci llevó esto más allá con la anatomía. Su Hombre de Vitruvio es básicamente un diagrama de geometría con traje humano: una figura inscrita en un círculo y un cuadrado, que traza lo que los pensadores del Renacimiento consideraban proporciones humanas ideales.

Y luego está La escuela de Atenas de Rafael, donde las estructuras piramidales y circulares organizan silenciosamente a decenas de figuras en una escena que, de alguna manera, se sigue leyendo como tranquila y legible. Geometría haciendo control de multitudes.

Fractales: detalle infinito a partir de reglas simples

Un fractal es una forma que se repite sin importar cuánto te acerques. Lo increíble es lo simple que suele ser la regla subyacente —algo como el conjunto de Mandelbrot ($z_{n+1} = z_n^2 + z_0$)— y, sin embargo, el resultado nunca deja de revelar nuevos detalles. Esta calculadora de derivadas es útil si deseas trabajar realmente con las matemáticas detrás de este tipo de recurrencias en lugar de simplemente aceptarlas como un acto de fe.

La gran ola de Hokusai tiene esta espuma en forma de garra en la cresta que hace eco de la misma forma autosimilar que encontrarías en las olas reales al romper: las crestas pequeñas parecen versiones en miniatura de la grande.

Las pinturas por goteo de Jackson Pollock son quizás el ejemplo más extraño. Sus lienzos de 1947 muestran patrones genuinamente fractales, y llegó allí puramente por instinto, décadas antes de que Benoit Mandelbrot le pusiera un nombre matemático a lo que eran los fractales, en 1975.

Encontrarás las mismas matemáticas en la sección de verduras de tu supermercado: el romanesco forma espirales con un patrón fractal, y algo tan simple como el copo de nieve de Koch tiene una dimensión fractal de aproximadamente 1,26.

Van Gogh y la física de un cielo turbulento

La noche estrellada podría ser la coincidencia más extraña en la historia del arte. Los investigadores han descubierto que el cielo arremolinado de la pintura coincide estrechamente con el comportamiento real de los fluidos turbulentos.

Existe un número llamado número de Reynolds que te indica la relación entre las fuerzas inerciales y las viscosas en un fluido: una vez que supera los 10.000, el flujo tiende a convertirse en turbulencia. Las ecuaciones de Navier-Stokes, que los físicos utilizan para modelar exactamente ese tipo de movimiento de fluidos, describen cómo los grandes remolinos turbulentos se descomponen en otros cada vez más pequeños. Si deseas rastrear las integrales involucradas en ese tipo de modelo de energía en cascada, esta calculadora de integrales te guía por los pasos.

Aquí está la parte que es genuinamente inquietante: cuando los investigadores realizaron un análisis de luminosidad en La noche estrellada, la distribución coincidía con la ley matemática de Kolmogorov para la turbulencia, una ley que Van Gogh obviamente nunca supo que existía, pero que parece haber pintado de todos modos.

Y hay un contraste revelador si observas su Autorretrato con la oreja vendada, pintado mientras estaba medicado. Allí, el humo de la pipa se eleva en líneas tranquilas y rectas, nada parecido al cielo caótico que pintó durante sus períodos de mayor angustia.

Simetría, teselaciones y geometría que se curva

Las teselaciones entrelazadas de M.C. Escher no eran solo un don que tenía: en realidad estudió los artículos del matemático George Pólya sobre los 17 grupos de simetría plana y tradujo ese sistema de clasificación bastante árido en un arte que aún hoy juega con la mente de las personas.

El arte geométrico islámico llegó a ese punto mucho antes en muchos aspectos, con polígonos estrellados e intrincados patrones de mocárabes construidos siglos antes. El siglo XX añadió las teselaciones de Penrose a la mezcla: un patrón que cubre un plano infinito sin que el diseño se repita exactamente.

Luego está la geometría no euclidiana, que desecha las reglas que la mayoría de nosotros aprendimos en la escuela. En una esfera, los ángulos de un triángulo suman más de 180 grados. En el espacio hiperbólico, suman menos. Artistas y matemáticos han utilizado herramientas como el semiplano de Poincaré para visualizar realmente estos espacios, y los resultados tienden a parecer alienígenas y, al mismo tiempo, extrañamente orgánicos.

Teoremas que realmente puedes ver

Algunas de las coincidencias más claras entre las matemáticas y el arte provienen de teoremas que son, literalmente, pruebas visuales en lugar de afirmaciones abstractas.

El teorema de Pick es un buen ejemplo: encuentra el área de un polígono en una cuadrícula reticular con solo contar los puntos:

donde $I$ es el número de puntos interiores y $B$ es el número que se encuentra en el límite.

También hay una prueba visual clásica que muestra que dos números triangulares consecutivos siempre suman un cuadrado perfecto: el tipo de cosa que es mucho más fácil de comprender mirándola que leyendo una ecuación.

O tomemos la circunferencia de los nueve puntos: en cualquier triángulo, nueve puntos específicos, incluidos los puntos medios de cada lado, caen todos en un solo círculo, y el ortocentro, el baricentro y el circuncentro del triángulo siempre se alinean perfectamente en lo que se llama la recta de Euler.

Incluso el diseño de logotipos se apoya en esto sin que la mayoría de la gente se dé cuenta: las curvas de Lissajous aparecen en logotipos corporativos, y las curvas de rosas ($r = A \cdot \cos(k\theta)$) producen el tipo de patrón floral repetitivo que probablemente hayas visto en telas o papel pintado sin preguntarte nunca de dónde venía.

Herramientas que vale la pena probar tú mismo

No necesitas un título en física para empezar a notar estas cosas, y mucho menos para usarlas.

En el lado analógico, algo tan simple como un buscador de ángulos, una regla o un transportador pueden mejorar la precisión con la que capturas la perspectiva cuando dibujas del natural.

En el ámbito digital, GeoGebra es gratuito y te permite jugar con construcciones de regla y compás de la misma manera que los artistas del Renacimiento lo hacían a mano. Peter Stampfli también creó una aplicación web de caleidoscopio que convierte la simetría hiperbólica y esférica en algo que realmente puedes manipular en lugar de solo leer sobre ello.

Y, sinceramente, algunos de los mejores hábitos aquí tienen que ver simplemente con la mentalidade: controlar la presión del lápiz para el rango tonal, no tener miedo de usar un borrador como herramienta de dibujo en lugar de como herramienta de corrección, y llevar un diario de naturaleza para comenzar a detectar patrones de Fibonacci en piñas y girasoles por tu cuenta.

Algunas preguntas frecuentes

¿Cómo se utiliza realmente la proporción áurea en el arte? > Es una proporción, alrededor de 1,618, que tiende a leerse como estéticamente agradable cuando se utiliza para enmarcar una composición. Da Vinci se apoyó en los rectángulos áureos y las espirales de Fibonacci para estructurar tanto La Mona Lisa como el Hombre de Vitruvio.

¿Cuál es la conexión real entre La noche estrellada y la física? > El cielo arremolinado de la pintura coincide con la forma en que se comporta realmente el flujo de fluidos turbulentos, incluida la forma en que la energía cae en cascada desde los grandes remolinos hacia los pequeños. Un análisis de luminosidad de la pintura incluso se alinea con la ley de escalamiento matemático de Kolmogorov para la turbulencia.

¿Qué matemáticas usó realmente Escher? > Grupos de simetría plana, teselaciones y geometría hiperbólica: conceptos que estudió directamente de artículos matemáticos antes de convertirlos en sus patrones repetitivos de aspecto imposible.

¿Existe una ecuación para encontrar el área de un polígono a partir de puntos de cuadrícula? > Sí, el teorema de Pick: $\text{Área} = I + \frac{B}{2} - 1$, donde $I$ representa los puntos interiores y $B$ representa los puntos del límite.